(1+x^2)^1/2的展开式是什么？

这个嘛，你记得二项式定理吧？(a+b)^n,n是正整数。
跟这个公式一样，只不过此时不是正整数而已。

所以(1+x^2)^1/2=1+x^2/2+[1/2*(1/2-1)/2]*x^4+[1/2(1/2-1)(1/2-2)/6]x^6+[1/2(1/2-1)(1/2-2)(1/2-3)/24]x^8+...
=1+x^2/2-x^4/8+x^6/16-5x^8/128+...

没有展开式

f(x) = (1+x^2)^(1/2), f(0) = 1
f'(x) = x(1+x^2)^(-1/2), f'(0) = 0
f''(x) = (1+x^2)^(-1/2) - x^2 (1+x^2)^(-3/2), f''(0) = 1
....

f(x) = 1 + (1/2)·x^2 - (1/8)·x^4 + (1/16)·x^6 - (5/128)·x^8 + (7/256)·x^10 + O[x^12]